目次
- まず「平方」ってなに？
- 「平方剰余」とは？
- .
- 「素数」のグループ分け
- 「平方数」を「素数」で割ってみよう
- 「合同式」の登場
- 「剰余(あまり)」を負の数へ
- .
- 「素数の形状」を考えてみましょう
- 「平方剰余」の「相互」法則
- 「ルジャンドル版」相互法則
- .
- 関連サイト（原著コーナー）
偉大な数学者を3人挙げろと言われたら、
ガウスさんがまず候補にあがるでしょうか。
ガウスさんが重視した「平方剰余の相互法則」。
管理人も理解したいなぁと思っておりました。
ときどき Disquisitiones arithmeticae を参考にしつつ、
平方、平方剰余、平方剰余の「相互」法則まで
汗をかきかき説明してみたいと思います。
それではよろしくお願いします。ぺこぺこ。
ーーー
まず「平方」ってなに？
「平方 square」は正四角形(正方形)の面積です。
面積だから「平たい」わけであります。
体積だったら立体的で、「立方 cube」です。
むかしむかしは
天が「円形」
地が「方形」と考えられたようです。(学研『漢字源』参考)
ははー、「前方後円墳」なりー。
面積の計算は縦×横です。
平方(正方形)ならば、
縦と横の長さが同じ。
長さを「ｘ」とすると、
面積は「ｘｘ」。 (xの二乗)
立方なら「ｘｘｘ」。(xの三乗)
二乗された数字は「平方数 square number」。
三乗された数字は「立方数 cubic number」です。
ちなみに
立方センチメートルは
cubic centimetre。略してｃｃであります。
ルービックキューブcubeであります。
1L は 1000ｃｃです (10 cmの三乗)。
成人の血液量は「体重1kgにつき約80mL」ほど。
体重 50 kg の人は
血液が 4000 mL = 4 L = 4000ｃｃくらいあります。
「2 L のお茶２本分」であります。
ーーー
平方 xx についてはわかりました。
「剰余」とはなんでしょう。
逆から読んで「余剰」です。
「余り」です。「甘利」じゃないです。
「剰」という漢字の意味は「あまり」。
「余」という漢字の意味も「あまり」。
「剰余」も「余剰」も、もうあんまりです。
銀座をザギン、
佐渡をドサという感じでしょうか。
史跡 佐渡金山 黄金の国じぱんぐ〜
ガウスにとって数論は
ゴールドに満ち溢れていたのでしょう。
「平方剰余の相互法則」のことを
「黄金定理」とまで呼んでいたそうです。
（数学日記の第16項目に。『ガウスの数論』131頁）
ーーー
「平方剰余」とは？
residuum quadraticum
「平方数を割ったあまり」を「平方剰余」と言います。
あまりが平方数の形をしているというわけじゃないです。（ここでよく混乱しましたです。はい。）
たとえば平方数を、「2」で割ってみます。
「 1 × 1 」÷「2」＝ 0 あまり 1
「 2 × 2 」÷「2」＝ 2 あまり 0
「 3 × 3 」÷「2」＝ 4 あまり 1
「 4 × 4 」÷「2」＝ 8 あまり 0
「 5 × 5 」÷「2」＝ 12 あまり 1
「 6 × 6 」÷「2」＝ 18 あまり 0
「 7 × 7 」÷「2」＝ 24 あまり 1
あまり(平方剰余)は「0」か「1」の
二つしか出てきそうにありません。
「あまり0」グループと
「あまり1」グループの二大派閥が誕生です。
「2」で「割る」というくらいですから、
右と左に分かれちゃうわけです。
「3」で「割る」と3グループできちゃいますし、
「4」で「割る」と4グループできちゃいます。
「3」で割るとあまりは「0、1、2 」の3つだけ。
「4」で割るとあまりは「0、1、2、3」の4つだけです。
「あまり」に注目すれば
「グループ名」が分かるわけであります。
たとえば「3」で割った時、
0から14までの数字は、
「あまり0」グループ：0、3、6、9、12
「あまり1」グループ：1、4、7、10、13
「あまり2」グループ：2、5、8、11、14
というふうにグループ分けできちゃいます。
ちなみに「Group Theory」は「郡論」といいます。
「対称性」の学問です。
円周をきれいに分割すると正多角形が出現します。
「あまり(剰余)」に注目する理由が
だんだんわかってきました。
「グループ分け」が肝であります。
・・・ところで、
化学では「原子」を組み合わせて
あらゆる「分子」をつくります。
数学では「素数」を組み合わせて
いろんな「数」をつくります。
数論では特に素数が大事になります。
素数は割り切れないやつです。
「17」は2でも3でも4でも5でも割り切れません。
「17」は17でしかキレイに割れません。
「あまり」が出やすいワケです。
6は6以外に2でも3でも割れます。
.
ーーー
「素数」のグループ分け
素数を「2」で割ってグループわけしましょう。
・2
・3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、・・・
「あまり0」グループは「2」のみの一人ぼっち、
「あまり1」グループはメンバーが無数にいます。
素数中、「2」は唯一の偶数であります。
「2」を他の素数と切り分けるのは理にかないます。
でも他の素数はみな「あまり1」グループにいるので
あんまりグループ分けできた感じがしません。
素数を「3」で割ってグループわけすると、
「あまり0」グループは「3」のみの一人ぼっち。
「あまり1」グループは「3の倍数＋1」たち、
「あまり2」グループは「3の倍数＋2」たち、
素数中「3」だけを特別視する理由がないので
あんまりいいグループわけではなさそうです。
めげずに素数を「4」で割ってみます。
「あまり0」グループは メンバーなし。
「あまり1」グループは「5、13、17、29、・・・」
「あまり2」グループは「2」のみ。
「あまり3」グループは「3、7、11、19、23、・・・」
むむむ。
唯一の偶数である「2」を一人ぼっちにできました。
他の素数は「あまり1」と「あまり3」の
二つのグループに分けることができたようです。
「4」で割ることによって、素数をいい感じに
グループ分けすることができました。
「あまり1」は 「4n + 1」グループ
（メンバー：5、13、17、29、33、・・・）
「あまり3」は「4n + 3」グループ
（メンバー：3、7、11、19、23、・・・）
と呼んだ方がより正確になります。
この2グループをさらに2分割できそうです。
「4」ではなく「8」で素数を割ってみましょう。
「あまり0」グループ：メンバー無し
「あまり1」グループ：「17、33、41、・・・」
「あまり2」グループ：「2」のみ
「あまり3」グループ：「3、11、19、・・・」
「あまり4」グループ：メンバー無し
「あまり5」グループ：「5、13、29、・・・」
「あまり6」グループ：メンバー無し
「あまり7」グループ：「7、23、31、・・・」
2を除き、その他の素数を4グループにできました。
「あまり1」グループ：17、33、41・・・「8n+1」
「あまり3」グループ：3、11、19・・・ 「8n+3」
「あまり5」グループ：5、13、29・・・「8n+5」
「あまり7」グループ：7、23、31・・・「8n+7」
2を除く素数たちは
「4」で割れば「2グループ」 に
「8」で割れば「4グループ」 に分けられます。
「16」で割れば「8グループ」です。
16
「あまり1」グループ：17、33、・・・
「あまり3」グループ：3、19、・・・
「あまり5」グループ：5、37、・・・
「あまり7」グループ：7、23、・・・
「あまり9」グループ：41、・・・
「あまり11」グループ；11、43・・・
「あまり13」グループ；13、29、・・・
「あまり15」グループ：31、・・・
グループがだんだんグレープに見えてきました。
細かく分けすぎるとよく分かりません。
「4」で割ったケースに戻りましょう。
ーーー
2を除く素数は
「4n+1」グループと
「4n+3」グループに分かれました。
ガウスさんはこの2グループで
平方数を割ってみたようです。
「平方数」を「素数」で割ってみよう
「4n+1」グループの素数メンバーは、
「5、13、17、・・・」
まずは
平方数を「5」で割ってみましょう。
「 1 × 1 」÷「5」＝ 0 あまり 1
「 2 × 2 」÷「5」＝ 0 あまり 4
「 3 × 3 」÷「5」＝ 1 あまり 4
「 4 × 4 」÷「5」＝ 3 あまり 1
「 5 × 5 」÷「5」＝ 5 あまり 0
「 6 × 6 」÷「5」＝ 7 あまり 1
「 7 × 7 」÷「5」＝ 9 あまり 4
「 8 × 8 」÷「5」＝ 12 あまり 4
「 9 × 9 」÷「5」＝ 16 あまり 1
「 10 × 10 」÷「5」＝ 20 あまり 0
「5」で割ったとき
あまりの中に「4」がでてきました。
平方数を「13」で割ってみましょう
「 1 × 1 」÷「13」＝ 0 あまり 1
「 2 × 2 」÷「13」＝ 0 あまり 4
「 3 × 3 」÷「13」＝ 0 あまり 9
「 4 × 4 」÷「13」＝ 1 あまり 3
「 5 × 5 」÷「13」＝ 1 あまり 12
「 6 × 6 」÷「13」＝ 2 あまり 10
「 7 × 7 」÷「13」＝ 3 あまり 10
「 8 × 8 」÷「13」＝ 4 あまり 12
「 9 × 9 」÷「13」＝ 6 あまり 3
「 10 × 10 」÷「13」＝ 7 あまり 9
「 11 × 11 」÷「13」＝ 9 あまり 4
「 12 × 12 」÷「13」＝ 11 あまり 1
「 13 × 13 」÷「13」＝ 13 あまり 0
「 14 × 14 」÷「13」＝ 15 あまり 1
「 15 × 15 」÷「13」＝ 17 あまり 4
「13」で割った時
あまりの中に「12」が出てきました。
平方数を「17」で割ってみましょう
「 1 × 1 」÷「17」＝ 0 あまり 1
「 2 × 2 」÷「17」＝ 0 あまり 4
「 3 × 3 」÷「17」＝ 0 あまり 9
「 4 × 4 」÷「17」＝ 0 あまり 16
「 5 × 5 」÷「17」＝ 1 あまり 8
「 6 × 6 」÷「17」＝ 2 あまり 2
「 7 × 7 」÷「17」＝ 2 あまり 15
「 8 × 8 」÷「17」＝ 3 あまり 13
「 9 × 9 」÷「17」＝ 4 あまり 13
「 10 × 10 」÷「17」＝ 5 あまり 15
「 11 × 11 」÷「17」＝ 7 あまり 2
「 12 × 12 」÷「17」＝ 8 あまり 8
「 13 × 13 」÷「17」＝ 9 あまり 16
「 14 × 14 」÷「17」＝ 11 あまり 9
「 15 × 15 」÷「17」＝ 13 あまり 4
「 16 × 16 」÷「17」＝ 15 あまり 1
「 17 × 17 」÷「17」＝ 17 あまり 0
「 18 × 18 」÷「17」＝ 17 あまり 1
「17」で割ると
あまりに「16」が出てきました。
「5」で割るとあまりに「4」が
「13」で割るとあまりに「12」が
「17」で割るとあまりに「16」が
少なくとも一つは出てきました。
「4n+1」で割るとあまりに「4n」が
ひとつは出てきそうだと予想できます。
今度は「4n+3」グループ、
「3、7、11、・・・」で割ってみます。
平方数を「3」で割ると
「 1 × 1 」÷「3」＝ 0 あまり 1
「 2 × 2 」÷「3」＝ 1 あまり 1
「 3 × 3 」÷「3」＝ 3 あまり 0
「 4 × 4 」÷「3」＝ 5 あまり 1
「 5 × 5 」÷「3」＝ 8 あまり 1
「 6 × 6 」÷「3」＝ 12 あまり 0
「3」でわると
あまりに「2」がでてきません。
平方数を「7」で割ると
「 1 × 1 」÷「7」＝ 0 あまり 1
「 2 × 2 」÷「7」＝ 0 あまり 4
「 3 × 3 」÷「7」＝ 1 あまり 2
「 4 × 4 」÷「7」＝ 2 あまり 2
「 5 × 5 」÷「7」＝ 3 あまり 4
「 6 × 6 」÷「7」＝ 5 あまり 1
「 7 × 7 」÷「7」＝ 7 あまり 0
「 8 × 8 」÷「7」＝ 9 あまり 1
「 9 × 9 」÷「7」＝ 11 あまり 4
「7」でわると
あまりに「6」は出てきません。
平方数を「11」で割ってみましょう
「 1 × 1 」÷「11」＝ 0 あまり 1
「 2 × 2 」÷「11」＝ 0 あまり 4
「 3 × 3 」÷「11」＝ 0 あまり 9
「 4 × 4 」÷「11」＝ 1 あまり 5
「 5 × 5 」÷「11」＝ 2 あまり 3
「 6 × 6 」÷「11」＝ 3 あまり 3
「 7 × 7 」÷「11」＝ 4 あまり 5
「 8 × 8 」÷「11」＝ 5 あまり 9
「 9 × 9 」÷「11」＝ 7 あまり 4
「 10 × 10 」÷「11」＝ 9 あまり 1
「 11 × 11 」÷「11」＝ 11 あまり 0
「 12 × 12 」÷「11」＝ 13 あまり 1
「 13 × 13 」÷「11」＝ 15 あまり 4
「 14 × 14 」÷「11」＝ 17 あまり 9
「 15 × 15 」÷「11」＝ 20 あまり 5
「11」で割っても
あまりに「10」は出てきません。
「4n+3」で割っても
あまりに「4n+2」は
出てこなさそうであります・・・
「4n+1」型素数と
「4n+3」型素数のこの違い、
もっとクッキリ表現できないでしょうか。
ーーー
「合同式」の登場
すごい武器があります。
「合同式」の登場です。
こんなやつです。
「 ｘ ≡ 1 (mod. 3) 」
初めてみると意味がわかりません。
この式は、
「ｘ」を「3」で割ると、あまりが「1」である。
という意味であります。(x-1)は3で割り切れるとも言います。
「ｘ」にはどんな数字が当てはまるでしょうか？
「4」はOKであります。
「5」はブブーであります。
「6」もブブーであります。
「7」はピンポンパンであります。
合同式「 ｘ ≡ 1 (mod. 3) 」
の解は、ｘ＝1、4、7、・・・であります。
要は、「3」で割ったとき、
「あまり1」グループのメンバーｘを述べよ、
と言っているにすぎません。
合同「≡」は「所属するグループが同じ」というわけです。「血液 ≡ 赤 (mod.色)」とでも言えるでしょうか(むりやり)。
「モッド mod.」は「モドゥルス modulus」(主格)
の略です。「尺度、測定基準」であります。
「mod.3 」は 「3を尺度にグループ分け」であります。
「mod」はよく「法」と訳されますが、
管理人としては「尺度」の方が分かりやすいと思います。
□□□□
[ 合同式を詳しく知りたい方へ ]
「4x ≡ 3 (mod.5)」の解き方を解説してくれてます。
5分割したとき右辺は「あまり3」グループです。
左辺の「4ｘ」が「あまり3」グループになるには
ｘにどんな数が入ればよいでしょうか。
「ｘ＝2、7、12、・・・」であります。
これをひとまとめに言うと、
「ｘ≡ 2 (mod.5)」であります。
（5で割った時の「あまり2」グループのメンバー）
「4x ≡ 3 (mod.5)」を解いたら
「 ｘ≡ 2 (mod.5)」ということですね。
□□□□
ーーー
何の話をしていたか・・・
「平方数」を「4n+1」と「4n+3」の素数で
割っていたのでありました。
「4n+1」型素数で割った時は、
あまりの中に「4n」があると。
「4n+3」型素数で割った時は、
あまりの中に「4n＋2」がないと。
これを合同式でのべてみます。
平方数はｘｘです
「 ｘｘ ≡ 4n (mod.4n+1)」
n = 1 のとき、
「ｘｘ ≡ 4 (mod.5)」
n = 2
「ｘｘ ≡ 8 (mod.9)」❌(9は素数じゃない〜)
n = 3
「ｘｘ ≡ 12 (mod.13)」
「ｘｘ ≡ 4 (mod.5)」解は x = 3、8、13・・・なので、
「ｘ ≡ 3 (mod.5)」です。ｘ＝2、7、12・・・も解です。
むむむ。これらをもっと見やすく
式変形できないものか・・・。
「剰余(あまり)」を負の数へ
ここまで「あまり」は「正の数」だけでしたが
「負の数」で表現することも実はできます。
5分割したときの「あまりグループ」は
「0、1、2、3、4」でありますが、
グループ名を
「-2、-1、0、1、2」に変えることもできます。
9 ÷ 5 = 1 あまり 4 は、数式で、
「 9 = 5 × 1 + 4」と書けますが、
これを、
「 9 = 5 × 2 - 1」と書き換えても式は正しいです。
9 ÷ 5 = 2 あまり -1 に変身であります。
「あまり4」グループは
「あまり-1」グループと言いなおしていいわけです。
あまりというか不足か〜
先ほどの合同式を「負の数」で
言い換えてみましょう。
n = 1 のとき、
「ｘｘ ≡ 4 (mod.5)」→「ｘｘ ≡ -1 (mod.5)」
n = 3
「ｘｘ ≡ 12 (mod.13)」→「ｘｘ ≡ -1 (mod.13)」
n = 4
「ｘｘ ≡ 16 (mod.17)」→「ｘｘ ≡ -1 (mod.17)」
4n+1が素数なら
「ｘｘ ≡ 4n (mod.4n+1)」→「ｘｘ≡-1(mod.4n+1)」
なんとなんと
「平方数ｘｘ」を「4n+1型の素数」でグループ分けすると、「あまり-1」グループのメンバーが見つかるというキレイな結果になりました。
そしてそして
「平方数ｘｘ」を「4n+3型の素数」でグループ分けした場合は、「あまり-1」グループのメンバーは見つからないのです。
まとめると
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+1型素数)」はピンポンピンポン。
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+3型素数)」はブブー❌。
であります。
2を除く素数はみな
4n+1型か、
4n+3型でありました。
この二つの素数グループの違いを
浮かび上がらせてくれるのが、
合同式「ｘｘ≡ -1 (mod.p)」
と言えるでしょう。 素数 prime number
「-1」は「4n+1型素数」の「平方剰余」であり、
「-1」は「4n+3型素数」の「平方剰余」でない。
じつはこれが、「平方剰余の相互法則」・・・
の「第一補充法則」と呼ばれているものです。
（ガウスさんは特別な名称を与えてませんが・・・）
108. Theorema.
Omnium numerorum formae 4n+1, -1 est residuum quadraticum, omnium vero numerorum primorum formae 4n + 3, non - residuum
residuum(剰余) quadraticum(平方) 色強調は管理人による
「第一」が、あれば「第二」もあります。
「第一」は「4」で素数をグループ分け。
「第二」は「8」で素数をグループ分けです。
Disquisitiones arithmeticae : Gauss の111頁から引用です。
residuumは剰余（平方という言葉は省略されてます）
I. Numerorum omnium primorum formae 8n+3,
+2 erit non residuum, -2 vero residuum.
II. Numerorum omnium primorum formae 8n+5,
tum +2, tum -2 erunt non-residua.
112頁
Omnium numerorum primorumm formae 8n+7,
-2 est non-residuum, +2 vero residuum.
415頁
Tum +2 tum -2 est residuum cuiusuis
numeri primi p formae 8n+1
合同式でまとめてみましょ〜。
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ - 2 (mod. 8n+3型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+5型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ + 2 (mod. 8n+7型素数)」
たとえば「17」は「8n+1型」の素数。
平方数 36 を 17 で割ると 2 あまり 2 。
平方数 49 を 17 で割ると 3 あまり-2。
「11」は「8n+3型」の素数。
平方数 64 を 11 で割ると 6 あまり -2。
「23」は「8n+7型」の素数。
平方数 324 を 23 で割ると 14 あまり2。
324=18×18 23×14=322
ふむふむ。
平方剰余の相互法則には
第一補充法則と第二補充法則があり
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+1型素数)」
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+3型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ - 2 (mod. 8n+3型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+5型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ + 2 (mod. 8n+7型素数)」
でありました。ここまでくると、
「ｘｘ ≡ ± 3 (mod. p)」や
「ｘｘ ≡ ± 5 (mod. p)」の、
素数 p は何型なのか見つけたくなります。
ぴかーん。
Disquisitiones arithmeticae : Gauss の115~116頁を参考。
高瀬さんの『ガウスの数論』だと166~167頁。
「ｘｘ ≡ ± 3 (mod. 12n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 3 (mod. 12n+5型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ - 3 (mod. 12n+7型素数)」
「ｘｘ ≡ + 3 (mod. 12n+11型素数)」
たとえば 「13」は「12n+1型」の素数。
平方数 16 を 13 で割ると 1 あまり 3 。
平方数 36 を 13 で割ると 3 あまり-3。
「19」は「12n+7型」の素数。
平方数 16 を 19 で割ると 1 あまり -3。
「23」は「12n+11型」の素数。
平方数 49 を 23 で割ると 2 あまり 3。
きらーん。
今度は「20」で素数を8分類です。
「ｘｘ ≡ ± 5 (mod. 20n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ - 5 (mod. 20n+3型素数)」
「ｘｘ ≡ - 5 (mod. 20n+7型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 5 (mod. 20n+9型素数)」
「ｘｘ ≡ + 5 (mod. 20n+11型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 5 (mod. 20n+13型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ ± 5 (mod. 20n+17型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ + 5 (mod. 20n+19型素数)」
どどーん。
今度は「28」で素数を12分類・・・
へばってきた管理人です。
「ｘｘ ≡ ± 7 (mod. 28n+1型素数)」
・
・
・
.
ーーー
「素数の形状」を考えてみましょう
ここまで
「ｘｘ ≡ − 1 (mod.4n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 3 (mod. 12n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 5 (mod. 20n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 7 (mod. 28n+1型素数)」
などなど見てきました。
こうしたことに何の意味があるのでしょうか？
「素数」に注目するのじゃ〜
フランスから変な声が聞こえます。
フェルマさんの亡霊でしょうか。
ヒントは「直角三角形」じゃ〜
オイラーさんや
ラグランジュさんもいるようです。
カネオくんではないと思います。
「5、13、17、29、37・・・」
直角三角形？・・・といえば
「さんへーほーの定理」でしょうか。
底辺の二乗 + 高さの二乗 = 斜辺の二乗
(3×3) + (4×4) = (5×5) と言うやつでしたね。
ほかには
(5×5) + (12×12) = (13×13)
もしや・・・
(17×17) ＝ (8×8) + (15×15)
(29×29) ＝ (20×20) + (21×21)
(37×37) ＝ (12×12) + (35×35)
・・・4n+1型の素数は
「直角三角形の斜辺」になれるだと？
2つの平方数の和に分解できるだと〜。
「 (4n + 1)(4n + 1) = yy + 1xx 」
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+1型素数)」
まさか。。。8n+1型素数も、、、
「17、41、・・・」
(17×17) ＝ (19×19) - 2 (6×6)
(17×17) ＝ (1×1) + 2 (12×12)
(41×41) ＝ (57×57) - 2 (28×28)
(41×41) ＝ (23×23) + 2 (24×24)
つまり。。。
「 (8n + 1)(8n + 1) = yy ∓ 2xx 」
・・・てこんなのフツー気が付かないですよ〜
「ｘｘ ≡ - 3 (mod. 12n+7型素数)」ならば、
「 (12n + 7)(12n + 7) = yy + 3xx 」
「 (19)×(19) = (13×13) + 3 (8×8) 」
「ｘｘ ≡ - 5 (mod. 20n+3型素数)」ならば、
「 (20n + 3)(20n + 3) = yy + 5xx 」
「 (23)×(23) = (22×22) + 5 (3×3) 」
「ｘｘ ≡ ± 7 (mod. 28n+1型素数)」ならば、
「 (28n + 1)(28n + 1) = yy - 7xx 」
「 (29)×(29) = (43×43) - 7 (12×12) 」
「 (28n + 1)(28n + 1) = yy + 7xx 」
「 (29)×(29) = (27×27) + 7 (4×4) 」
ぜえぜえ・・・。計算は電卓＋ど根性であります。
「ｘｘ≡ ○ (mod.p)」ですが、
平方剰余の ○ が分かれば、
「素数 p の二乗」の分解方法も分かると。
「ｘｘ ≡ - 3 (mod. 19)」なら
「19×19＝yy + 3xx」に分解できると。
361＝(13×13)+ 3(8×8)
ーーー
「平方剰余」の「相互」法則
ここまで
「ｘｘ ≡ - 1 (mod.4n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 3 (mod. 12n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 5 (mod. 20n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 7 (mod. 28n+1型素数)」
などなど見てきました。
第一補充法則は 平方剰余が「-1」
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+1型素数)」
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+3型素数)」は❌
第二補充法則は 平方剰余が「±2」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ - 2 (mod. 8n+3型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+5型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ + 2 (mod. 8n+7型素数)」
でした。
平方剰余が「± 3」や「± 5」になってくると、
「相互性」が出てきます。それを追求したのが、
「平方剰余の相互法則」であります。
123条 から引用 120頁 Disquisitiones arithmeticae
+5 esse residuum omnium numerorum primorum qui ipsius 5 sint residua,
管理人訳：+5 は剰余である、つぎのようなあらゆる素数の。それら素数は5の剰余である（quiは関係代名詞のwho）
何を言っているのかわかりにくい・・・
でもでも合同式にすれば一発で相互性がわかります。
「ｘｘ ≡ + 5 (mod. p )」
「ｘｘ ≡ p (mod. 5 )」
たとえば
「ｘｘ ≡ + 5 (mod. p )」を満たす
素数 p を探してみると、
平方数ｘｘ＝16 から、
p = 11 が見つかります。
「ｘｘ ≡ + 5 (mod. 11 )」
から「相互法則」を使うと、
「ｘｘ ≡ +11 (mod. 5)」が導けます。
この合同式を満たす
平方数ｘｘはやっぱり「16」であります。
「相互法則」がなりたっていれば、
一方から他方を導ける。
一方がむづかしくとも、
他方がかんたんであれば楽ちんなわけです。
たとえば
「ｘｘ ≡ + 5 (mod. 79)」は解をもつか？
と言われると、ちょっと面倒そうです。
79個のグループ分けなんてしたくないよ〜
相互法則をつかうと
「ｘｘ ≡ + 79 (mod. 5)」に変身。
平方数 64 がこの場合すぐ見つかりました。
64も79も「5」で割ると「あまり4」グループです。
「剰余」だけでなく、
「非剰余」も相互法則であります。
「ｘｘ ≡ + 5 (mod. 13 )」は成り立ちませんが
「ｘｘ ≡ +13 (mod. 5)」も成り立ちません。
ーーー
なんとか
「平方剰余の相互法則」まで辿り着きました。
証明は管理人にはむりで〜す。
「ガウスさん」バージョンをみてきましたが、
実は、「ルジャンドルさん」バージョンもあります。
最後にルジャンドルさんの記法を見てみましょう。
「ルジャンドル版」相互法則
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+1型素数)」OK (成り立つ)
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+3型素数)」❌ (成り立たず)
でした。「-1」は 素数の「平方剰余」
ルジャンドルさんの記法では
となります。
右辺の「＋1」は OK マーク(平方剰余あり)で
右辺の「-1」は ❌（平方剰余なし）であります。
ルジャンドル記法では、平方数ｘｘが現れませんが、
平方剰余の判定を右辺でできます。
この2本の式を、1本にまとめることもできます。
右辺が＋1 になるか -1 になるかで、
「-1」が 素数pの「平方剰余」かを判定。
p = 4n+1 の場合、右辺は、
であり、「(-1)^(偶数)」となるから、
右辺は「＋1」であります。
ガウスさんの記法では、
「ｘｘ≡ -1 (mod.4n+1型素数)」で解ありです。
ーーー
第二補充法則（ガウスさん）
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+1型素数)」
「ｘｘ ≡ - 2 (mod. 8n+3型素数)」
「ｘｘ ≡ ± 2 (mod. 8n+5型素数)」は❌
「ｘｘ ≡ + 2 (mod. 8n+7型素数)」
第二補充法則（ルジャンドルさん）
平方剰余「＋2」の判定
p ＝ 8n+5 の場合、
右辺の指数の分子は、
(8n+5)(8n+5)-1 = 64nn + 80n + 24
これを8で割ると 「8nn + 10n + 3」で
「奇数」となります
→ 右辺は「-1」で ❌ ばってんばってん
ーーー
次でやっとこさ
「平方剰余の相互法則」です。
ガウスさんの記法だと
「ｘｘ ≡ q (mod. p)」
「ｘｘ ≡ p (mod. q)」
ルジャンドルさんの記法だと
p = 5
q = 11 ですと、
「ｘｘ ≡ 11 (mod. 5)」は成り立ちますし、
「ｘｘ ≡ 5 (mod. 11 )」も成り立ちます。 xx=16
ルジャンドルさん記法では
右辺の指数が偶数になります。→ 右辺は「＋1」だ。
この場合、
左辺の (q/p)(p/q) ですが、
可能性としては、
「(q/p)＝＋1」かつ「(p/q)＝＋1」で
両者成り立つか、
「(q/p)＝ー1」かつ「(p/q)＝ー1」で
両者成り立たないかのどっちかです。
(q/p)と(p/q)は一蓮托生っぽいですね。
これぞ「相互法則」という感じです。
「ｘｘ ≡ 11 (mod. 5)」→ 「( 11 / 5 ) = +1」
「ｘｘ ≡ 5 (mod. 11 )」→ 「( 5 / 11 ) = +1」
( 11 / 5 )( 5 / 11 ) = (+1)(+1) = +1
ーーー
・・・
つ、つかれた。
ブログに数字を書きすぎた。
おなかがぺこぺこです。
読者さんも、
お疲れ様であります。
数学に興味がない人向けの
おまけも用意してたんですが
さらに疲れると思うので
よろしければ無視しちゃってください。
Thank you for coming. 七見
どんとのーうぇ〜ん🎐
.
関連サイト（原著コーナー）
□□□□□□□□□□□□
ガウスさん [Gauss, Carl Friedrich, 1777-1855]
・Disquisitiones arithmeticae : Internet Archive
・Mathematisches Tagebuch , 30.3.1796 - 9.7.1814 - GDZ
・Mathematisches Tagebuch (△+△+△)
オイラーさん [Leonhard Euler, 1707- 1783]
・Euler Archive | University of the Pacific Research
・"Opuscula analytica, tomus primus" by Leonhard Euler
・"Opuscula analytica, tomus secundus" by Leonhard Euler
ルジャンドルさん [Legendre, A. M. (Adrien Marie), 1752-1833]
・Elements of geometry : Internet Archive
・Essai sur la théorie des nombres : Internet Archive
ラグランジュさん [Lagrange, Joseph Louis, 1736-1813]
・Oeuvres de Lagrange : Internet Archive 全集Vol.1
・Oeuvres de Lagrange : Internet Archive 全集Vol.2
・Oeuvres de Lagrange : Internet Archive 全集Vol.3
・桑木文庫解説 : ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ 髙瀬, 正仁.pdf 全集は全14巻
フェルマさん [Fermat, Pierre de, 1601-1665]
・OEuvres de Fermat : Internet Archive 全集1
・OEuvres de Fermat : Internet Archive 全集2
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高瀬さん？
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ーーー余計なおまけ (ふたりのあまりせんせい) ーーー
「平方剰余」という言葉に
よく惑わされた管理人であります。
へいほーを割った余りなのか、
あまりが平方数になっているのか、
頭が混乱状態でありました。
自民税調のインナーや、
財務官僚のお仕事など、
全部AIにまかせてほしい管理人であります。
(甘利さん、経済安保がんばってたけど増税は・・・)
数理工学の甘利俊一先生に
足りないものを聞いてみましょー
（神経回路・情報幾何学）
第三次AIブームに「足りていないモノ」 | Ledge.ai
「prediction」(ニューラルネットワークなど)と
「postdiction」（記号処理や論理構造など）。
知能と呼ぶには両者大事だが
今のAIには後者が足りないらしい・・・・
財務省にも後者が足りない気がします。
・需要不足の日本経済「減税が足りない」
・管理人「シンプルにお金が足りない」
本体 9,800 円＋税 という表記は勘違いをまねくので、いい加減やめた方が良いです。消費税は消費者ではなく事業者が支払う「付加価値税(「課税売上ー課税仕入」にかかる税金)」なのだから。消費税が10パーセントだからといって、10パーセント値上げしなければならないというわけではありません。値上げしたければ20%値上げしてもいいし、逆に値下げしても良いです。消費税のパーセントはあくまで「付加価値(粗利)」にかかるものです。商品の値段にかかるのではありません。
自民党の幹事長職 (実質的には党内No1)：
二階幹事長：2016年8月〜2021年10月「親中だ」
甘利幹事長：2021年10月〜2021年11月「増税だ」
茂木幹事長：2021年11月 現職「減税なら社会保障カットだ」
総裁 ：与党なら政党より政府 (内閣総理大臣)
副総裁 ：常設の役職ではない
幹事長 ：お金と人事と選挙の公認を握る
党四役
幹事長
総務会長
□□□□□□□□
二階俊博：隣人の中国と仲良くしよう
中国 ：日本の土地や資産を買っちゃおう
甘利明 ：経済安全保障が大事だ。対中姿勢。
国民 ：経済的にくるし〜
土地を高く買ってくれる中国さまさま〜
観光客も中国さまさま〜
管理人 ：増税と経済安全保障って両立するの甘利さん？？？
□□□□□□□□
LINE問題で: 日本経済新聞 2021年3月17日
（井上 久男） | マネー現代 | 講談社 2021.10.08
菅義偉政権では、親中派の代表格、二階俊博氏が幹事長として党内を牛耳り、それに配慮していたが、甘利氏を幹事長に沿えた岸田政権では対中関係で変化が生じるに違いない。
中国の立場に立てば、経済安保政策のブレーンである甘利氏が最も厄介な存在となる。自民党ナンバー３の座から甘利氏を追い落とす工作を仕掛けてくる可能性があると筆者は見ている。 中国共産党が最も得意とする手法の一つが「インフルエンス・オペレーション（情報操作）」と呼ばれる工作活動だ。前述した豪州が「紅く染まった」大きな理由は、中国マネーの力によって、まずは在豪州の華僑ネットワークが「親北京化」され、そのネットワークを使って、豪州のメディアや政治家を篭絡していったからだ。
たとえば、元外相のボブ・カー氏を、中国マネーで設立したシンクタンクの所長に就けるなどして共産党擁護の論陣を張らせ、ラジオ局などメディアも実質、中国マネーの支配下に置いた。 中国は軍事的な活動よりも、こうして社会に影響力のある政治家やメディアを味方に付ける工作活動を重視している。その工作活動によって、豪州を親中国に染め上げて、準備淡々とダーウィン港の租借権を勝ち取った。「戦わずして勝つ」孫子の兵法が今でも引き継がれているのだ。 (林芳正 外相は大丈夫？元日中友好議連会長さん)
仮に筆者も中国などの依頼を受けて工作活動に関わるジャーナリストであれば、岸田政権の要の一人である甘利氏を徹底攻撃するだろう。 甘利氏は16年1月、金銭授受の問題を受けて内閣府特命担当大臣（経済財政担当）を辞任しているが、いわゆる「政治とカネ」の問題を鉾にすれば世論を誘導することは比較的容易だ。
甘利さん、やたら叩かれてましたけど、5年以上前の話がここまで燃え上がるのは不思議。お金を受け取ったのは秘書さんらしいですが、検察は甘利さんを不起訴。秘書は不起訴不当で再捜査も不起訴。でも秘書さんの問題で世間を騒がしたので、経済財政担当を辞任されてます。2016年1月の話です。そして、2021年10月19日公示、10月31日投開票の選挙では、現職の幹事長として前代未聞の落選でした。
・甘利明氏「全国から落選運動を強烈にやられた」小選挙区での苦戦を釈明【衆院選2021】 | ハフポスト NEWS
・政治とカネ問題「幹事長になってたたかれた」 小選挙区落選の甘利氏 [自民]：朝日新聞デジタル
・衆議院選挙速報2021 開票速報・選挙結果 -衆院選- NHK
10月はじめ頃から、マスコミバッシング過熱？
・自民幹事長に甘利氏 過去に「政治とカネ」 岸田氏判断に厳しい声も | 毎日新聞 2021/9/30
・甘利新幹事長、自身の政治とカネ問題は「寝耳に水だった」 : 読売新聞オンライン 2021/10/01
・野党、甘利氏の「政治とカネ」問題を追及へ 検証チーム設置の意向：朝日新聞デジタル 2021年10月1日
・野党、甘利氏の金銭疑惑追及へ調査チーム 来週設置 - 産経ニュース 2021/10/1
・「政治とカネ」再燃 甘利氏金銭問題、野党検証：中日新聞Web 2021年10月2日
・衆院選「政治とカネ」争点に浮上 甘利氏金銭授受疑惑 野党、合同チームで追及：東京新聞 TOKYO Web 2021年10月5日
・まるで時代劇／大臣室で「菓子折り＋現金50万円」を授受／事務所でさらに50万円／甘利新幹事長の関連報道を振り返る／ウオッチ霞が関№25 – ウオッチドッグ 2021年10月5日
2016年1月に週刊文春が、「甘利明大臣事務所に賄賂1,200万円を渡した」とスクープ報道。この実名告発記事が2021年10月2日、週刊文春の電子版で再公開された。
《自民党幹事長就任》政界激震スクープ「甘利明大臣事務所に賄賂1200万円を渡した」実名告発——甘利氏「金銭授受」記事を再公開 | 週刊文春 電子版 2021/10/02 user数多いですね。
ーーー学者の甘利先生ーーー
・甘利 俊一 栄誉研究員の文化勲章受章について | 理化学研究所
ちょっとＡＩについて説明しておくと、研究には２つの派があるのです。ニューラルネットワークという人工神経回路網をつくって、その学習に任せようというのと、人間が「知的な動作はこうすれば実現する」というのを〝if-thenルール〞に従ってひたすらプログラムに入れてコンピュータを回す、というやり方。いまや前者が〝勝利〞して、そこには、さっきの確率勾配降下法が普通に使われています。
自民党内にも二つの派があるのです。強大な財務省派(増税&歳出削減信仰者)と、弱小の積極財政派(減税&国債発行推進派)。過去30年以上勝利を収め続けてきたのが前者の財務省派。国やぶれても財政ありきです。
ーーー政治家の甘利先生ーーー
甘利明 Official Web | Akira Amari
経済安全保障政策の検討過程で、政府機関その他、国内外の様々な処から、先端技術情報漏洩リスクについて情報を得ておりました。そうした情報の一つに、日本学術会議の件がありました。その内容とは、今迄に、会員又は連携会員として日本学術会議に所属していた10名近くの研究者が過去に中国の千人計画に参画しており、その中には、中国が軍事研究拠点としている中国国防七校と研究を行っていたとの報告もありました。
中国の「国防7校」
北京航空航天大学、
北京理工大学、
ハルビン工業大学、
ハルビン工程大学、
南京航空航天大学、
南京理工大学、
西北工業大学
・中国、日本の大学・学術界への「侵略」の実態…学術会議問題で見過ごされた経済安保
・中国の大学での名誉教授の肩書や講演、講義を行なっていた経緯について - 参議院議員 山田太郎 公式webサイト (名誉教授の肩書ってそんな簡単にもらえるものなのか・・・)
甘利明 Official Web | Akira Amari
加えて、日本学術会議が中国科学技術協会と覚書を結んでおります。 覚書の中身はその覚書の範囲内で推薦された研究者を受け入れ、研究プログラムの調整や現地サポートの対応を行う事になっています。 つまり、日本学術会議と中国科学技術協会は必要に応じて推薦された研究者を受け入れることになっています。
日本学術会議と中国科学技術協会の協力覚書
https://www.scj.go.jp/ja/int/workshop/signed-mou.pdf (英語)
https://www.scj.go.jp/ja/int/workshop/abstract.pdf（要旨 日本語）
・日本学術会議が中国科学技術協会と協力覚書：長尾たかし議員「中国国防部の傘下の中国工程院と提携」 - 事実を整える
甘利明 Official Web | Akira Amari
中国に居る研究者で千人計画に参加している研究者は基礎科学がほとんどであり、およそ軍事技術からは遠い方々ばかりというご指摘ですが、ファクトとして兵器を開発している大学で研究に参加している方があり、そこの研究施設の広報物には兵士とその開発機器が協働しているポンチ絵が描いてあります。ご指摘の通り参加者は基礎科学の分野の人であり、軍事研究に協力している意識がない人が大半かもしれません。しかし中国政府は先端科学研究を軍事の中核に据える大方針を公言しています。基礎研究成果が軍事技術にとって極めて重要と捉えています。
次に日本が基礎科学に予算を割かないために働き場をアメリカや中国に求めるとのご指摘です。確かに科学技術政策で我々がもっと力を入れなくてはならないところです。そこで私が3年前から強く進めてきました大学やその研究者に対する長期安定的資金供給のしくみとして10兆円の基金を設立するということが来年度から着手されます。私が麻生財務大臣とサシの話し合いをして規模、方法は今後の調整としても基金設立は了解をすると合意を取り付けました。10兆円と言う規模を何としても確保すべく仲間と奮闘中です。この運用益を（フル稼働時には）2,000億円、大学院博士課程や若い研究者に安定的に配分できるように来年度予算に盛り込むべく奮闘中です。
いやいや何で運用益？ (確実にプラス出せるのか)。
基金を作りまくってるのは、
官僚の天下り先確保に見えますよ。
そんなことせず、堂々と公務員の給料アップを考えてください。公務員がお金をどんどん使ってくれれば民間経済も潤いますから。逆に、民間の不況に合わせて公務員の給料減らすと、公務員も節約し出すのでお金が回らなくなりますから。給料安いと優秀な人も公務員になってくれなくなりますから。・・・それなりにお金稼いでる人が「節約」を唱えているのを見るとげんなりする管理人であります。不況のとき、需要を喚起するため、あえて車を買った松下幸之助さんのような人はいないのでしょうね (景気をよくするには景気良く金を使う人が出てこないとダメなのです。ケチンボばっかりでは景気など良くなりません)。節約節約では消費が滞り、経済が死にますが、だからと言ってどうしようもありません。個人にとっては節約した方が家計が助かるに違いないのですから。節約信仰の人が太っ腹になるのは難しいでしょうし。・・・節約信仰を社会に広めるのはやめてほしいですけどね。それが日本経済をゆでガエル状態にしているのだから。
「経費削減、コストカット〜、
賃金低下で消費減退、物が売れずに不況不況」
「景気が悪くなる＝お金の価値が高まる＝お金持ちはうれしい」
「景気が良くなる＝お金の価値は下がる＝お金持ちは悲しい」
10兆円は基金じゃなくて、
学術分野に直接に渡しましょう。
政治家の陰でコソコソしてる財務省さん。
管理人のいた大学はビンボーで人手が足りず、
先生が過労死寸前でした。
お世話になった先生が2人倒れて救急車で運ばれました
日本の学術分野も死にかけであります・・・
あなた方の病である「増税病」、
多くの国民にバレ始めてますよ。
財務省は病んでるって。
経済評論家の森永卓郎さんは、「増税は財務省の病いです」とため息をつき、こう断じる。・・・もし実現してしまったら、デフレスパイラルが加速し、給料は上がらず、生活レベルが下がる。町はゴーストタウンになってしまいます」
世界恐慌が勃発し、日本経済は危機に直面しているにもかかわらず、昭和5年1月、予定通り金輪出解禁が行われた。そのために、物価の下落、株式や商品市場の暴落が起こり、不況は一層深刻化した。前年からの極端な緊縮政策の浸透もあって、消費は一段と冷え込み、物は余る、仕事は減る、失業者は増えるという惨状となった。 所主は「物が余って、みなが困っているときだ。今こそ需要を喚起するために、分に応じて物を買うべきではないか。それによって新たな生産も起こり、不況も解消されるはずだ」と考えた。
公開日 2023/1/26
最終更新日 2023/1/27
しまった。
公開日を素数にできなかった・・・
